For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com
Bildetekster:
Settene. Operasjoner på sett
"Et sett er mye som vi tenker på som en enkelt" grunnlegger av settteori - Georg Cantor (1845-1918) - tysk matematiker, logiker, teolog, skaper av teorien om uendelige mengder, som hadde en avgjørende innflytelse på utviklingen av matematiske vitenskaper på begynnelsen av 1800- og 1900-tallet.
Eksempler på sett fra omverdenen For eksempel består settet med ukedager av elementene: mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag, lørdag, søndag. Mange måneder - fra elementene: januar, februar, mars, april, mai, juni, juli, august, september, oktober, november, desember.
Eksempler på mengder i matematikk er: a) mengden av alle naturlige tall N, b) mengden av alle heltall Z (positive, negative og null), c) mengden av alle rasjonelle tall Q, d) mengden av alle reelle tall tall R Settet av aritmetiske operasjoner - fra elementer: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon.
Eksempler på sett i geometri er: a) et sett med typer trekanter, b) et sett med polygoner
Skjæringspunktet mellom to sett A og B er settet C \u003d A B, som består av alle elementene x som ligger samtidig i settet A og i settet B. A B \u003d (x), hvor x A og x B M \u003d en c
A OPPGAVE 1 OPPGAVE 2
Foreningen av to sett A og B er settet A B, som består av alle elementer som tilhører A eller B. C \u003d A B \u003d (x), hvor x A eller x B. A - jenter i klassen, B - klassens gutter, C - hele klassen
Delmengde Tomt sett Like sett A = B
A=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Nr. 1 Hvilket sett er gitt ved å liste disse elementene? #2 Sett mange krokodiller som flyr på himmelen. Sett A = (3, 5, 0, 11, 12, 19), B = (2, 4, 8, 12, 18,0) er gitt. Finn settene AU B, A B nr. 3 B \u003d (A, E, I, O, U, E, Yu, Z)
Løsning Det fjerde pennalet bør inneholde gjenstander som allerede finnes i de tre første pennalene, men bare én gang. Dette er en blå penn, en oransje blyant og et rødt viskelær. Svar Blå penn, oransje blyant, rødt viskelær. Problem Det første pennalet inneholder en lilla penn, en grønn blyant og et rødt viskelær; i den andre - en blå penn, en grønn blyant og et gult viskelær; i den tredje, en lilla penn, en oransje blyant og et gult viskelær. Innholdet i disse pennalene er preget av følgende regelmessighet: i hver to av dem samsvarer nøyaktig ett par gjenstander både i farge og formål. Hva skal være i det fjerde pennalet for at dette mønsteret skal bevares? Hint Tenk på om det fjerde pennalet kan inneholde en lilla penn.
№ 5 Bruk Euler-sirkler til å tegne skjæringspunktet mellom settene K og L hvis: a) K L b) L K c) K = L d) K L = K K = L L K L K
Løsning: Angi med x antall personer som er matematikere og filosofer samtidig. Da er antallet matematikere 7 x og antallet filosofer er 9 x . Hvis x 0, så er det flere filosofer. Hva betyr det at x = 0? Det betyr at verken det ene eller det andre eksisterer i det hele tatt, det vil si at de er «like». Dette er det riktige svaret, som formelt tilfredsstiller problemets tilstand. Og de som påpekte det er dobbelt så flinke! Selv om løsningen også ble regnet av de som analyserte bare saken når matematikere fortsatt eksisterer. Svar: Hvis det er minst én filosof eller matematiker, så er det flere filosofer. Problem Blant matematikere er hver syvende filosof, og blant filosofer er hver niende matematiker. Hvem er mest: filosofer eller matematikere? Hint Tenk på folk som er matematikere og filosofer på samme tid.
Sett er vanligvis merket med store
bokstaver: A, B, X N ,..., og deres elementer er
tilsvarende små bokstaver: a,b,x,n...
Spesielt er følgende notasjon tatt i bruk:
ℕ er settet av naturlige tall;
ℤ er settet med heltall;
ℚ er settet med rasjonelle tall;
ℝ er settet med reelle tall (numerisk
rett).
er settet med komplekse tall. Og rett
følgende:
N Z Q R C
med små bokstaver, og selve settene med store bokstaver.
Tilhørighet
element
m
mange
M
betegnet som følger: m M, hvor tegnet er
stilisering av den første bokstaven i et gresk ord
(er)
tegn på ikke-tilhørighet: Sett kan være endelige, uendelige og
tømme.
Et sett som inneholder et begrenset antall elementer,
kalt finale.
Hvis settet ikke inneholder noen elementer, da
den kalles tom og er betegnet med Ø.
For eksempel:
settet med 1. års studenter er et begrenset sett;
mange stjerner i universet - uendelig
en haug med;
en haug med
studenter,
Fint
vite
tre
fremmed
Språk
(japansk,
kinesisk
Og
fransk), tilsynelatende det tomme settet.
Måter å spesifisere sett
Det er tre måter å definere sett på:1) sett beskrivelse
Eksempler: Y=(yΙ1≤y ≤10) – sett med y-verdier fra
segmentet
X=(xIx>2) er settet av alle tall x større enn 2.
2) sette oppregning
Eksempler:
A \u003d (a, b, c) - tre forbokstaver på russisk
alfabet
N=(1,2,3...)-naturlige tall
3) grafisk tildeling av sett skjer med
ved hjelp av Euler-Venn-diagrammer To sett er gitt:
Og
Hvis det er få elementer i settene, da
de kan angis eksplisitt på diagrammet. Sett A kalles en delmengde av sett B.
(betegnet A B) hvis hvert element
sett A er et element i sett B:
se figur 1.1
Ris. 1.1
I dette tilfellet sier vi at B inneholder A, eller B dekker A
Ikke-inkludering av sett C i sett B,
betegnet slik: Sett A og B er like (A=B) hvis og bare
når, A B og B A, dvs. elementer av sett
A og B matcher.
Eksempel: A=(1,2,3), B=(3,2,1), C=(1,2,3,3) er like.
Settet C er settet A, bare i det
element 3 skrives to ganger.
Eksempel: A=(1,2), B=(1,2,3)- IKKE LIK
En familie av sett er et sett
hvis elementer er selv sett.
Eksempel: A \u003d ((Ø), (1,2), (3,4,5)) - en familie bestående av
fra tre sett.
Hver ikke-tom delmengde А≠ Ø har
minst to distinkte undergrupper: seg selv
sett A og Ø. En haug med
EN
kalt
egen
en delmengde av mengden B, hvis A er B, og B er A.
Utpekt som følger: A B.
For eksempel,
Det er vanlig å anta at det tomme settet er
delsett av ethvert sett.
Kardinaliteten til et begrenset sett M er tallet
dens elementer. Utpekt M
For eksempel, B=6. A=3.
Operasjoner på sett
Union (sum) av sett A og B(betegnet med A B) kalles mengden C av disse
elementer, som hver hører til
til ett av settene A eller B. Det er tre mulige
sak:
1) A=B;
2) sett har felles elementer;
3) sett har ikke felles elementer.
Eksempler:
1) A \u003d (1,2,3), B \u003d (1,2,3), deretter A B \u003d (1,2,3).
A B=(1,2,3,4,5,6)
3) A=(1,2,3), B=(4,6,8), deretter A B=(1,2,3,4,6,8) Sakene behandlet
illustrert i figuren
A, B
EN
I
EN
I Skjæringspunktet mellom sett A og B
kalles det nye settet C,
som kun består av elementer
eid på samme tid
sett A, B
Betegnelse C=A B
Tre tilfeller er mulige:
1) A=B
2) sett har felles elementer
3) sett har ingen felles
elementer. Eksempler:
1) A \u003d (1,2,3), B \u003d (1,2,3), deretter A B \u003d
{1,2,3}.
2) A=(1,2,3), B=(2,3,4,5,6), deretter
A B \u003d (2.3)
3) A=(1,2,3), B=(4,6,8), deretter A B= Forskjellen mellom sett A og B kalles
sett C, bestående av elementer
som bare tilhører settet A og
som ikke tilhører V.
Betegnelse: C=A\B Gitt to sett:
A=(1,2,3,b,c,d),B=(2,b,d,3).
Deretter:
A B=(1,2,3,b,c,d)
B undergruppe A
A/B=(1,c)
A B=(2,3,b,d) Egenskaper:
1. Kommutativitet av fagforening А B=B A
2. Kommutativitet av krysset A B=B A
3. Kombinasjonslov A (B C)=B (A C)
4. Det samme for krysset.
5. Fordeling i forhold til krysset
A (B C) = A B A C
6. Fordelende vedrørende forening
A (B C) = (A B) (A C)
7. Absorpsjonsloven A (A B) \u003d A
8. Absorpsjonslov A (A B)=A
9. A A=A
10. A A=A Det kartesiske (direkte) produktet av A og B er
et nytt sett C, bestående av bestilte
par der det første elementet i paret er hentet fra
sett A, og det andre fra B.
A=(1,2,3)
B=(4,5)
C \u003d A B \u003d ((1.4); (1.5); (2.4); (2.5); (3.4); (3.5))
Kraften til det kartesiske produktet er
produktet av potensene til sett A og B:
A B = A ∙ B A B ≠ B A, bortsett fra hvis A=B (i så fall
likhet gjelder)
Gitt:
X.x koordinat numerisk akse (-,+).
Koordinat numerisk akse Y.y (- ,+).
D=X Y
Kartesisk produkt av to akser - punkt
på overflaten.
Tenk på det kartesiske produktet,
som har eiendommen
kommutativitet. A=(Ivanov, Petrov)
B = (høy, tynn, sterk)
A B \u003d Ivanov er høy, Ivanov er tynn,
Ivanov er sterk, Petrov er høy, Petrov
tynn, Petrov sterk
lysbilde 2
Naturlige tall og handlinger på dem Delbarhet. Prim- og sammensatte tall Største felles divisor og minst vanlige multiplikasjonsoppgaver Konsept av sett, skjæringspunkt og forening av mengder Monomer og polynomer Faktorering av et polynom Forkortede multiplikasjonsformler Tenk og løs oppgaver Forfattere
lysbilde 3
Naturlige tall i stigende rekkefølge kan skrives som en sekvens 1, 2, 3, 4, ... Mengden av alle naturlige tall er betegnet med N. For naturlige tall er aritmetiske operasjoner definert (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) , eksponentiering (tall en grad n, og n er resultatet av å multiplisere tallet a med seg selv n ganger), den inverse operasjonen for å heve til en potens er å trekke ut roten (b = ⁿ√a, hvis a = bⁿ) Addisjon og multiplikasjon tilfredsstiller den kommutative loven (kommutativitetens lov): a + b=b+a, a b=b a og den assosiative loven (assosiativitetsloven): (a+b)+c=a+(b+c), (a b) c=a (b c ), samt den distributive (distributive) lov: (a+b) c=a c+b c naturlige tall og handlinger på dem 1 2 3 4 5
lysbilde 4
DELELIGHET. ENKLE OG KOMPOSITTE NUMMER. Å dele tallet a med tallet b betyr å finne x, a: b = x slik at xb = a. Hvis et slikt tall eksisterer, så sier vi at a er delelig med b, og tallet b kalles divisor av a. Disse og bare disse tallene er delbare med 2 (eller 5), hvor det siste sifferet uttrykker et tall som er delelig med 2 (eller 5) Disse og bare tallene er delbare med 4 (eller 25), hvor de to siste sifrene uttrykker en tall delelig med 4 (eller 25) Disse og bare disse tallene er delbare med 3 (eller 9), hvor summen av sifrene er delbare med 3 (eller 9) Disse og bare disse tallene er delbare med 11, for hvilke forskjellen mellom summen av sifrene på partallsplassene, og summen av sifrene på oddeplasser er delelig med 11. Et tall a annet enn 1 kalles primtall hvis bare en og tallet a selv er divisorer. Et tall a som har andre divisorer kalles et sammensatt tall. Ethvert sammensatt tall kan representeres som et produkt av primtall, for eksempel: 12 = 2 2 3 = 2² 3.
lysbilde 5
GCD og LCM Blant felles divisorer for tallet og b, kan du velge den største felles divisoren GCD (a ; b). For eksempel, gcd (45; 60) = 15. Hvis gcd (a; b) =1, kalles tallene a og b coprime. Enhver felles divisor av vilkårlige tall a og b deler den største felles divisor av disse tallene. Et tall som er delelig med a og b kalles et felles multiplum av a og b. Blant felles multiplum av a og b, kan du velge det minste felles multiplum av LCM (a ; b). For eksempel, LCM (4 ; 6) = 12. Ethvert felles multiplum av vilkårlige tall a og b er delelig med LCM (a ; b). Tallene a og b er relativt prime hvis og bare hvis LCM (a ; b) = a · b.
lysbilde 6
Finn GCD for to tall: 1. 45 ; 135 2,84; 168 3,5; 60 Finn LCM for to tall: 1. 4 ; 5 2. 6; 7 3. 7; 8. oppgaver
Lysbilde 7
Konseptet med et sett Et av de grunnleggende begrepene i matematikk er konseptet med et sett. Et sett kan tenkes som et sett (samling) av noen gjenstander, forent i henhold til en eller annen egenskap. Sett er et udefinerbart konsept. Et sett kan bestå av tall, objekter osv. Hvert tall (objekt) som inngår i settet kalles et element i settet. - dette er settet med punkter 3. Det faktum at elementet a tilhører settet A skrives som en € A. for settet med enkeltverdier: A \u003d (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) tallet 4 tilhører A, men tallet 20 tilhører ikke A
Lysbilde 8
Fortsettelse 4. Et sett som ikke inneholder elementer kalles tomt og er betegnet med symbolet Ø. 5. Hvis hvert element i en mengde A er et element i en annen mengde B, så sier de at mengde A er en delmengde av mengde B. Dette uttrykkes ved å skrive A med B. 6. Skjæringspunktet mellom mengdene A og B er en sett bestående av elementer som tilhører hvert av datasettene (fig. 1) А В С Fig. 1
Lysbilde 9
7. En forening av settene A og B er en mengde som består av alle elementene i settene A og B og bare av dem. Unionen av mengder er angitt med symbolet ں og skrevet C = A ں B = ( x | x € A eller x € B (Fig. 2) A B Spørsmål: hvilken mengde er foreningen av disse mengdene? A = (1 ; 2; 5; 7), B = (3; 5; 7; 8) 2. N = (4; 7; 67; 34; 5; 2), M = (7; 89; 34) 3. K = ( 78; 89; 56; 90), P = (87; 98; 65; 9)
Lysbilde 10
monomer og polynomer Et uttrykk som er et produkt av tall, variabler og naturlige potenser kalles monomer. 2. Graden av et monomial er summen av eksponentene til variablene. For eksempel er 8x³y² en femtegrads monomial. Monomialer som bare skiller seg med en numerisk koeffisient eller er lik hverandre kalles like. 3. Den algebraiske summen av monomer kalles et polynom Graden av et polynom er den største graden av et monomer som inngår i dette polynomet. For eksempel er 1+ 2x² - 5x²y³ et femtegrads polynom. 4. Når man tar summen av polynomer, er det nødvendig å ta med lignende termer (termer). For å gjøre dette er det nok å legge til koeffisientene deres og multiplisere det resulterende tallet med et bokstavelig uttrykk.
lysbilde 11
5. Når du tar forskjellen av polynomer, er det nødvendig å ta subtrahend-polynomet i parentes, åpne parentesene, endre tegnet for hvert ledd til det motsatte, og deretter bringe lignende ledd. For eksempel, (4x² - 3x + 3) - (3x² - x + 2) = = 4x² - 3x + 3 - 3x² + x - 2 = x² - 2x + 1. 6. For å multiplisere et polynom med et monom, er det nok til å multiplisere hvert medlem av polynomet til et monomer og legge til de resulterende produktene. Deling av et polynom med et monomert produkt i henhold til en lignende regel. 7. For å multiplisere et polynom med et polynom, er det nok å multiplisere hvert ledd i det første polynomet med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene. For eksempel, 5x (x - y) + (2x + y) (x - y) \u003d \u003d 5x² - 5xy + 2x² + xy - 2xy - y² \u003d 7x² - 6xy - y²
lysbilde 12
Dekomponering av et polynom faktorer Når fellesfaktoren tas ut av parentes, fås uttrykket i parentes ved å dele hvert ledd i polynomet med fellesfaktoren. For eksempel, 3ax³ - 6a²x + 12ax² = 3ax(x² - 2a + 12x) Løs selv: 1. ab + 2a - 3b - 6 2. 3(x - 2y)² - 3x + 6y
lysbilde 13
forkortede multiplikasjonsformler a 2 - b 2 \u003d (a - c) (a + c) (a + c) 2 \u003d a 2 + 2ab + c 2 (a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
